Логические элементы для квантовых битов

В этом разделе мы опишем, как произвольные логические элементы могут быть построены для квантовых битов. Мы начнем с рассмотрения различных однобитовых унитарных операций и одной двухбитной операции XOR. Их комбинации достаточны для построения логического элемента Тоффоли для квантовых битов или любой другой унитарной операции с конечным числом битов.

Начните с одного квантового бита. Если мы представляем государства  а также  (то есть,  а также  ) как векторы  а также  соответственно наиболее общее унитарное преобразование соответствует  матрица формы

где мы обычно берем . Используя этот оператор, мы можем перевернуть биты через:

Посторонний знак представляет собой фазовый фактор, который не влияет на логическую работу ворот и может быть удален, если мы хотим, сейчас или на более поздней стадии. Такие однобитовые вычисления схематически проиллюстрированы в виде квантовой схемы на рис. 5.

 
Рис. 5 Схема квантовой принципиальной схемы для однобитного затвора. Линия представляет один квантовый бит (например, спин  частиц). Первоначально этот бит имеет состояние, описываемое  ; после того, как он “прошел” по этой схеме, он выходит в состояние  , 

Еще один важный однобитный шлюз  который отображает вращающуюся частицу

равной суперпозиции вниз и вверх. Рассмотрим цепочку из k спин-  частицы изначально вращаются вниз. Если мы применим эти ворота независимо к каждой частице, мы получим суперпозицию каждой возможной цепочки битов длины k :

где  , Наш компьютер сейчас находится в суперпозиции экспоненциально большого числа целых чисел от 0 до  , Предположим, что теперь мы можем построить унитарную операцию, которая отображает пару битовых строк  в пару  для какой-то функции  , Тогда такой унитарный оператор действует на суперпозицию состояний

будет вычислять  параллельно экспоненциально большое количество раз для различных входов а .

Чтобы увидеть, как такие унитарные операторы могут быть построены из нескольких элементарных, мы также должны рассмотреть вентиль XOR. Запись двухчастичных базисных состояний как векторов

мы можем представить ворота XOR как унитарный оператор

Здесь первая частица действует как условный вентиль, чтобы перевернуть состояние второй частицы. Легко проверить, что состояние второй частицы соответствует действию затвора XOR, приведенного в таблице. Квантовая схема для затвора XOR показана на рис. 6. Эта схема эквивалентна элементарной инструкции

 если (   = 1)   = НЕ  
 

который можно рассматривать как пример квантового компьютерного кода. Кет-кронштейны  Напоминаем, что мы имеем дело с квантовыми, а не с классическими битами.Ворота XOR позволяют нам перемещать информацию, как показано на рис. 7.

 
Рис. 6 Квантовая принципиальная схема для затвора XOR. Нижний бит  переворачивается всякий раз, когда верхний бит  установлено. 

 
Рис. 7 Схема для замены пары битов. 

Как мы строим ворота Тоффоли? Одна из основных проблем этого шлюза состоит в том, что для него требуется три бита и три выхода. Квантово механически это, по-видимому, соответствует процессу рассеяния, включающему трехчастичные столкновения, требующие (возможно) необоснованного контроля частиц. К счастью, ворота Тоффоли могут быть построены только с помощью двухчастичных процессов рассеяния. В частности, мы покажем здесь конструкцию, включающую ворота XOR и некоторые однобитовые вентили  (Рис. 8). XOR не только достаточен для всех логических операций на квантовом компьютере, но и может использоваться для построения произвольных унитарных преобразований на любом конечном наборе битов. Были рассмотрены многочисленные предложения по изготовлению таких ворот.

 
Рис. 8 Ворота Toffoli, построенные из двухбитных вентилей XOR плюс несколько одноразрядных вентилей. Эта схема вводит некоторые дополнительные знаки в унитарной матрице  которые могут быть удалены на более поздней стадии. 

 

Оригинальная статья: http://www-users.cs.york.ac.uk/~schmuel/comp/node7.html